MEMBUAT FRAKTAL DENGAN CARA ITERASI MENGGUNAKAN MATRIKS DILATASI

MEMBUAT FRAKTAL DENGAN CARA ITERASI MENGGUNAKAN MATRIKS DILATASI

 (Jurnal 12)

 Memen Permata Azmi

 Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika

 Universitas Pendidikan Indonesia

 

        Pada pertemuan sebelumnya kami sudah mempelajari cara membuat fraktal menggunakan generator, dari generator tersebut dilakukan proses iterasi sehingga membentuk gambar fraktal. Namun, pada perkuliahan pada hari rabu 11 Desember 2013 yang disampaikan oleh Prof. Jozua masih berhubungan dengan cara membuat gambar fraktal. Kami diajarkan membuat fraktal tanpa menggunakan generator yaitu dengan cara iterasi menggunakan matriks dilatasi. Dengan menggunakan matriks dilatasi gambar fraktal akan tetap “self similar” pada tiap skalanya. Pada perkuliahan ini kami menggunakan alat bantu program komputer yaitu sketchpad untuk memudahkan dalam mengkonstruksikan gambar fraktal menggunakan matriks dilatasi. Cara yang sama dengan melakukan proses beberapa kali iterasi akan menghasilkan gambar fraktal yang sangat kompleks. Dari gambar tersebut, pada tiap-tiap persegi panjang bisa dilukis atau dibuat motif yang sama sehingga dari gambar tersebut dapat menghasilkan sebuah karya seni dengan nilai intelektual yang tinggi.

  Selengkapnya dapat dibaca dan didownload di JURNAL GEOMETRI OK 12

 

DIMENSI FRAKTAL

DIMENSI FRAKTAL

 (Jurnal 11)

 Memen Permata Azmi

 Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika

 Universitas Pendidikan Indonesia

 

 Melanjutkan pelajaran pada minggu yang lalu mengenai geometri fraktal, pada pertemuan keduabelas tanggal 27 November 2013 materi yang diajarkan oleh Prof. Jozua yaitu mengenai dimensi fraktal. Dimensi menurut euclid berbeda dengan dimensi menurut fraktal. Sebagaimana yang kita ketahui dimensi menurut euclid, titik merupakan dimensi 0, garis merupakan dimensi 1, persegi merupakan dimensi 2 dan kubus merupakan dimensi 3. Namun pada fraktal kita akan menjumpai dimensi yang merupakan pecahan seperti dimensi 1,2, dimensi 1,3, dimensi 2,7 dan sebagainya. Hal ini tentu mengejutkan bagi saya karena yang saya ketahui selama ini hanya yang berbentuk bilangan cacah. Tidak mudah memang memahami materi dimensi fraktal, untuk lebih jelasnya mengenai dimensi fraktal berikut rangkuman perkuliahan berdasarkan apa yang saya pahami dari penyampaian beliau, mudah-mudahan menambah pengetahuan kita mengenai ilmu geometri.

 

Untuk mempelajari dimensi fraktal terlebih dahulu kami diperkenalkan dengan objek-objek fraktal yaitu fenomena alam tidak beraturan yang sulit diukur karena kerumitannya. Salah satu contohnya yaitu dikemukakan Mandelbrot mengukur panjang garis pantai di Inggris. Gambar garis pantai tersebut tentunya memiliki kerumitan untuk mengukurnya karena bentuknya yang tidak beraturan. Salah satu cara yang digunakan untuk mengukur garis pantai tersebut adalah dengan menyiapkan penggaris yang berbeda ukuran panjangnya. Misalnya penggaris pertama berukuran 50 unit, penggaris kedua 20 unit, penggaris ketiga 10 unit dan sebagainya. Cara seperti ini tentu sulit dilakukan karena penggaris-penggaris tersebut memotong teluk dan tanjung sehingga untuk memperoleh jawaban yang tepat mungkin sulit diperoleh. Hal yang juga jadi penyebab ketidaktepatan dalam mengukur panjang garis pantai yaitu keadaan atau sifat garis pantai yang dapat berubah-ubah sewaktu-waktu ketika air laut pasang ataupun surut.

 

Selengkapnya dapat dibaca dan didownload di JURNAL GEOMETRI OK 11

 

 

PERMAINAN MATEMATIKA: TRIGOGAME

PERMAINAN MATEMATIKA

Bermain Sambil Belajar Trigonometri

Oleh:

1. Memen P Azmi

2. Dian Mita Nurhayati

3. Imayati

4. Reskina Hayati

Memahami Trigonometri melalui Permainan Matematika. Trigonometri adalah salah satu pelajaran matematika yang banyak digunakan pada bidang astronomi, navigasi dan penyelidikan – penyelidikan lainnya.

Tujuan Permainan:

•Melalui permainan ini diharapkan anak didik (pemain) dapat lebih mudah memahami trigonometri.
•Dapat meningkatkan daya ingat.
•Melatih anak didik agar dapat mengoperasikan bilangan dengan cepat.
•belatih konsentrasi dan ketelitian dalam berfikir.
•Kegiatan belajar mengaar menjadi lebih efektif dan menyenangkan.

 

 

PERATURAN PERMAINAN TRIGOGAME

 Peralatan yang digunakan:

  •  Papan permainan
  • Kartu Jalan
  • Pion untuk masing- masing pemain
  • Kartu istimewa
  • Kartu Hitam

 

Ketentuan Permainan

  •  Permainan ini dapat dimainkan oleh 2 ( lebih dari 2).
  • Pemain yang berada pada kotak sudut istimewa, harus mengambil kartu istimewa.
  • Pemain yang telah mengelilingi kotak permainan dan dan sampai ke garis finish adalah pemenang.

 

Cara Bermain

  • Permainan dimulai dengan meletakkan pion pada luar papan permainan.
  • Kartu Jalan dikocok sebelum bermain.
  • Tiap pemain secara bergiliran mengambil kartu Jalan. Angka yang dihasilkan dari kartu Jalan tersebut untuk menentukan posisi pion pemain berapa kotak yang dilewati.
  • Apabila kartu semuanya sudah digunakan maka dikocok kembali.
  • Permainan dimulai dari kuadran I, II, III dan selesai di kuadran IV.
  • Kartu Jalan akan menghasikan bilangan bulat positif 1–7
  • Jika mendapatkan kartu sinus pada kuadran I dan II, maka pemain berhak maju sesuai hasil dari kartu sinus.
  • Jika mendapatkan kartu sinus pada kuadran III dan IV, maka pemain tidak berhak maju tetapi mundur karena sinus hanya positif pada kuadran I dan II.
  • Jika mendapatkan kartu cosinus pada kuadran I dan IV, maka pemain berhak maju sesuai hasil dari kartu cosinus.
  • Jika mendapatkan kartu cosinus pada kuadran II dan III, maka pemain tidak berhak maju tetapi mundur karena cosinus hanya positif pada kuadran I dan IV.
  • Jika mendapatkan kartu tangen  pada kuadran I dan III, maka pemain berhak maju sesuai hasil  dari kartu tangen.
  • Jika mendapatkan kartu tangen pada kuadran II dan IV, maka pemain tidak berhak maju tetapi mundur karena tangen hanya positif pada kuadran I dan III.
  • Dengan Artian bahwa Apabila kartu Jalan sesuai dengan letak kuadran (bernilai positif ) maka berhak maju, dan sebaliknya  jika kartu jalan tidak sesuai dengan letak kuadran (bernilai negatif) maka mundur.
  • Dengan Artian Mundur tidak berlaku pada kuadran I, karena pada kuadran I sinus cosinus dan tangen bernilai positif.
  • Pada Kotak kotak berisi sudut sudut.
  • Papan permainan ada lambang Integral yang berarti boleh maju sesuai dengan lekukan lambang integralnya
  • Papan permainan juga ada lambang turunan yang berarti mundur sesuai dengan lekukan lambang turunannya.
  • Kartu Istimewa didapat karena tepat berhenti dikolom yang berisi sudut istimewa.
  • Kartu Istimewa berfungsi untuk menyelamatkan diri dari marabahaya.
  • Kartu hitam didapat karena tepat berhenti pada kotak yang berisi sudut yang bukan pada kuadran tersebut. Misalnya pada kotak 5 yang berada pada kuadran I berisi sudut 120 derajat ( penempatan tidak sesuai).
  • Kartu hitam berisi hukuman hukuman.
  • Hukuman bisa terlepas apabila menukarkan kartu istimewa.

 

Selengkapnya dapat didownload di TRIGOGAME

MENGKONSTRUKSIKAN SEGIEMPAT SACCHERI HIPERBOLIK

Pada pertemuan minggu lalu mata kuliah geometri kami telah telah memperoleh gambaran mengenai segiempat saccheri. Perkuliah geometri pertemuan ke-8 pada rabu pagi tanggal 30 Oktober 2013 disampaikan Bapak Prof. Jozua masih mengenai segiempat saccheri. Kami mempelajari bagaimana cara mengkonstruksikan segiempat saccheri pada geometri hiperbolik menggunakan software cabri geometri. Bagi kami menggunakan software cabri geometri merupakan hal yang baru sehingga butuh latihan dan waktu yang agar kami mahir menggunakan cabri.

Kekurangan kami dalam menggunakan cabri adalah kami belum terbiasa dengan menu-menu yang ada dicabri untuk membuat hal-hal yang sederhana. Untuk mengkontruksikan segiempat saccheri pada hiperbolik terasa susah. Tetapi kami tetap bisa mengkontruksikan segiempat saccheri berkat bimbingan beliau. Beliau sangat paham akan kekurangan dan terus membimbing kami mengkontruksikan segiempat saccheri hiperbolik pada tiap-tiap langkah.

Kami beruntung diajarkan menggunakan cabri karena banyak mahasiswa, guru, atau pun dosen matematika yang tidak mahir menggunakan cabri, sehingga mereka masih kesulitan mengkonstruksikan bangun geometri dan menggunakan cara-cara konvensional. Dengan menggunakan cabri, kita juga bisa membuktikan secara informal teorema-teorema yang ada pada geometri. Pembuktian secara informal itu sangat penting untuk menumbuhkan keyakinan dan intuisi pada diri kita untuk membuktikan secara formal. Kami sebagai generasi pendidik harus siap dengan pembaharuan yang dibawa beliau khususnya dibidang geometri. Banyak software-sofware geometri yang ada, setidaknya salah satunya ada yang kita kuasai agar kita tidak ketinggalan dalam dunia pendidikan, karena sifat dari pendidikan itu terus berkembangnnya.

Tidak mudah memang mengkontruksikan segiempat saccheri hiperbolik menggunakan cabri ataupun secara konvensional, disini saya akan merangkum analisis untuk mengkontruksikan segiempat saccheri hiperbolik yang telah di sampaikan Prof. Jozua di kelas. Setidaknya dapat membuka pikiran kita.

Baca selengkapnya di JURNAL GEOMETRI OK 8

GEOMETRI FRAKTAL

                Pada pertemuaan kesepuluh tanggal 13 November 2013 materi yang diajarkan oleh Prof. Jozua tidak lagi berhubungan dengan geometri hiperbolik yang menurut saya cukup susah dipahami, melainkan masuk pada materi baru yaitu mengenai geometri fraktal. Selama saya menempuh perkuliah S1 pada mata kuliah geometri sedikitpun tidak ada disinggung mengenai geometri fraktal. Setidaknya geometri fraktal bukan hal yang baru bagi saya, materi geometri fraktal sudah terintergrasi pada matakuliah atau materi lainnya seperti materi deret geometri. Karena tidak masuk kedalam kurikulum perkuliahan, akibatnya untuk mempelajari secara otodidak saya kurang terlalu berminat untuk mendapatkan pemahaman yang lebih mendalam.

           Sekarang saya benar-benar merasakan keindahan pada geometri melalui geometri fraktal. Geometri fraktal biasanya dihasilkan dari konstruksi dimensi dua dan dimensi tiga yang membentuk sebuah objek atau bentuk geometri rumit yang dalam kehidupan sehari-hari, dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dengan proses iterasi. Minat saya untuk mempelajari geometri fraktal terus tumbuh ketika saya bisa menduplikasikan karya-karya geometri fraktal dari para ahli seperti karya Sierpinski, Mendelbrot, dan Koch  Snow Flake. Suatu saat tentunya saya ingin menghasilkan sebuah karya matematika yang indah dari geometri fraktal.

        Awalnya untuk pengenalan geometri fraktal kami diajarkan membuat fraktal yang sederhana yaitu mendelbrot yang berupa segitiga siku-siku sama kaki menggunakan aplikasi cabri geometri. Pertama-tama yang harus dibuat untuk mengkonstruksikan mendelbrot segitiga siku-siku sama kaki adalah sebuah generator atau pola yang berbentuk segitiga siku-siku sama kaki, dilanjutkan dengan proses iterasi pada sisi sama kakinya, sampai iterasi yang kita inginkan.

             Munculnya geometri fraktal menunjukkan bahwa matematika tidak hanya sebagai ilmu yang menakutkan karena kerumitannya untuk dipelajari. Tetapi dari ilmu matematika khususnya geometri bisa memuncul cara pandang yang berbeda sehingga menghasilkan karya seni dengan nilai intelektual yang tinggi. Setidaknya dapat membuka pikiran kita bahwa geometri merupakan ilmu yang sangat luas, tapi terbatas oleh pandangan kita selama ini. Sekarang kita harus memperluas pandangan tersebut dari sudut pandang yang berbeda-beda.

Selengkapnya baca di  JURNAL GEOMETRI OK 10

KONSISTENSI PADA GEOMETRI EUCLID DAN GEOMETRI HIPERBOLIK

          Setelah beberapa pertemuan mempelajari tentang geometri euclid dan geometri hiperbolik, pada pertemuan ke – 9 yaitu pada hari rabu 30 Oktober 2013 yang diajarkan oleh Prof. Jozua, kami diajak untuk mengingat kembali apa yang telah kami pelajari sebelumnya. Kami diharapkan mampu menelaah dua hal yaitu antara geometri euclid dan geometri hiperbolik untuk mencari persamaan dan perbedaannya. Tujuannya untuk mencari konsistensi aturan-aturan apa saja yang konsisten pada geometri euclid dan geometri hiperbolik. Konsistensi maksudnya jika tidak ada aksioma (aturan) dari sistem itu yang bertentangan satu dengan yang lainnya.

                Terdapat dua aturan yang konsisten pada geometri euclid dan geometri hiperbolik, yang pertama yaitu: konsistensi pada postulat geometri euclid kecuali postulat ke-5, dan yang kedua pada geometri euclid dan geometri hiperbolik terdapat titik tengah pada sebuah segmen. Tetapi dari hasil telaah yang paling mengejutkan bagi saya mengenai geometri hiperbolik yaitu jumlah sudut dalam segitiga kurang dari 1800, karena sepengetahuan saya ketika belajar mengenai segitiga sudah terbiasa diajarkan bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah tepat 1800. Namun ketepatan jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800 hanya bisa dibuktikan pada geometri euclid, tetapi tidak bisa dibuktikan pada geometri netral atau hiperbolik karena pada geometri netral tidak mengikutsertakan postulat paralel atau tidak menggunakan postulat ke-5 euclid.

Berikut saya uraikan penjelasan lebih rincinya mengenai konsistensi pada geometri euclid dan geometri hiperbolik berdasarkan apa yang telah kami pelajari pada pertemuan ini.

Selengkapnya baca di JURNAL GEOMETRI OK 9

SEGIEMPAT SACCHERI

Segiempat saccheri merupakan materi perkuliahan geometri pada pertemuan ke-7. Perkuliah geometri pada rabu pagi tanggal 23 Oktober 2013 disampaikan Bapak Prof. Jozua. Segiempat saccheri merupakan materi baru menurut pengetahuan saya sehingga terasa sulit untuk memahaminya dengan cepat. Berikut rangkuman materi segiempat saccheri yang akan saya jabarkan, mudah-mudahan dapat memberikan gambaran mengenai segiempat saccheri.

Segiempat saccheri merupakan bagian dari geometri netral. Geometri netral adalah geometri yang tidak menerapkan postulat ke-5 dari geometri euclid.

Selengkapnya baca di  JURNAL GEOMETRI OK 7

KONGRUENSI PADA SEGITIGA

Perkuliah geometri kembali pada materi dasar yang kita anggap remeh selama ini. Perkuliahan pada pertemuan ke-6 pada tanggal 17 oktober 2013 disampaikan Bapak Dr. Endang Mulyana, M.Pd. Seperti biasa beliau kembali membuat kami terkejut dan merasa belum ada apa-apanya mengenai geometri dasar. Beliau mengajarkan mengenai materi kongruensi pada segitiga. Banyak kesalahan-kesalahan yang diungkapkan beliau mengenal kesalahan konsep kongruensi segitiga yang selama ini tidak diperhatikan oleh mahasiswa, guru, dan pengarang buku matematika bahkan naskah soal ujian nasional pun masih terdapat kesalahan konsep.

Tidak mudah memang mengubah kebiasaan buruk yang terus-menerus selalu dilakukan, setidaknya melalui media jurnal ini sebagai kontribusi saya untuk menyampaikan pengetahuan ini kepada siswa, mahasiswa, guru dan teman-teman semua agar tidak terjadi lagi kesalahan konsep mengenai kongruensi segitiga.

Secara umum untuk mengetahui apakah dua buah bangun atau lebih saling kongruen yaitu dengan menggunakan transformasi, tetapi yang menjadi dasarnya yaitu kongruensi segitiga. Berikut beberapa bahasa untuk  mendefinisi kongruensi berdasarkan tingkat pendidikan:

  1. Pada tingkat Sekolah Dasar

             Dua segitiga kongruen kalau dihimpitkan saling berhimpitan (Barangnya harus berbeda)

        2. Pada tingkat Sekolah Menengah

            Dua segitiga kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Kesalahan-kesalahan konsep kongruensi segitiga yang masih ditemui sampai saat ini, diantaranya:

  1. Pada naskah soal Ujian Nasional Matematika tingkat SMP/MTs tahun pelajaran 2008/2009, terdapat kesalahan konsep kongruensi segitiga.
  2. Untuk pembelajaran yang lebih efektif mengenai materi kongruensi dan kesebangunan, sebaiknya guru atau buku paket menyajikan materi kongruensi terlebih dahulu kemudian dilanjutkan materi kesebangunan, karena setelah siswa paham dengan materi kongruensi maka tinggal satu syarat lagi untuk mendefinisikan kesebangunan. Dengan kata lain kita ajarkan terlebih dahulu hal yang sederhana kepada siswa kemudian meningkat kepada hal yang rumit.
  3. Aturan pemberian nama pada segitiga sebenarnya bebas, tetapi jika segitiga tersebut dikaitkan pada kongruensi maka pemberian nama pada segitiga tersebut memiliki aturan korespondensi satu-satu.

Selengkapnya baca di JURNAL GEOMETRI OK 6

PERHITUNGAN UJI BARTLET

Uji bartlet merupakan salah satu uji kehomogenan varians. Bisanya digunakan sebagai asumsi uji analisis variansi yang sampelnya terdiri dari lebih dari dua kelompok.

Proses perhitungan selengkapnya baca disini UJI BARTLET

GEOMETRI HIPERBOLIK

Geometri hiperbolik tergolong materi yang masih baru menurut pengetahuan saya. Materi ini disampaikan oleh Prof. Jozua pada hari rabu 9 oktober 2013. Pada geometri hiperbolik kita akan bermain pada bidang Poincare dan kita tidak akan mengenal garis yang lurus. Pada pertemuan kami diajarkan tentang garis paralel, garis sense paralel, jarak dua titik hiperbolik, cross ratio dan sudut-sudut kesejajaran

Berikut rangkuman materi pembelajaran mengenai geometri hiperbolik. Tidak mudah memang untuk memahaminya bagi kita yang baru mengenal geometri hiperbolik. Mudah-mudahan apa yang saya rangkumkan ini memberikan gambaran dan pemahaman tentang geometri hiperbolik.

 Selengkapnya baca di JURNAL GEOMETRI OK 5